Question

5．已知橢圓C：9x²+y²=1，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．則直線OM的斜率與l的斜率的乘積為-9．

Answer 1

分析 由題意可知A，B在橢圓上，$\left\{\begin{array}{l}{9{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}=1}\\{9{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，兩式相減可知：$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，由直線OM的斜率k_OM=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，l的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，即可求得直線OM的斜率與l的斜率的乘積．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₁，y₂），M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
直線OM的斜率k_OM=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，l的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
$\left\{\begin{array}{l}{9{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}=1}\\{9{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，兩式相減可得：9（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁+y₂）=0，
即$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，
∴k_OM•k=-9，
故答案為：-9．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查直線的斜率公式及點差法的應用，考查計算能力，屬于中檔題．