Question

用g（n）表示自然數n的所有因數中最大的那個奇數，例如：9的因數有1，3，9，g（9）=9，10的因數有1，2，5，10，g（10）=5，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g（15）=

 

；g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ-1）=

 

．

Answer 1

分析：據題中對g（n）的定義，判斷出g（n）=g（2n），且若n為奇數則g（n）=n，利用等差數列的前n項和公式及逐差累加的方法及等比數列的前n項和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ-1），令n=4求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（15）．

解答：解：
由g（n）的定義易知g（n）=g（2n），且若n為奇數則g（n）=n
令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1）
則f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ⁺¹-1）=1+3+…+（2ⁿ⁺¹-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）
=2ⁿ[1+（2ⁿ⁺¹-1）]/2+g（1）+g（2）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）=4ⁿ+f（n）
即f（n+1）-f（n）=4ⁿ
分別取n為1，2，…，n并累加得f（n+1）-f（1）=4+4²+…+4ⁿ=

4×(1-4n)

1-4

=

4

3

（4ⁿ-1）
又f（1）=g（1）=1，所以f（n+1）=

4

3

（4ⁿ-1）+1
所以f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1）=

4

3

（4^n-1-1）+1
令n=4得
g（1）+g（2）+g（3）+…+g（15）=

4

3

(43-1)+1=85
故答案為85，

4

3

（4ⁿ-1）．

點評：本題考查等差數列的前n項和公式、等比數列的前n項和公式、逐差累加的方法．