Question

【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，動點(diǎn)在上，連結(jié)并延長至點(diǎn)，使得，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.

(1)求的方程；

(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率存在且不為零，證明: 這兩條直線的斜率之比為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】試題分析：（1）由橢圓方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由可得，結(jié)合點(diǎn)在上可得，設(shè)出坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式可得結(jié)果；（2）設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率為，利用兩點(diǎn)間斜率計算公式可得， 滿足圓的方程， 滿足橢圓的方程，當(dāng)時，可直接計算，當(dāng)時，由點(diǎn)在直線上，故斜率相等，平方結(jié)合等比定理化簡可得，結(jié)合，代入可得最后結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)橢圓的長軸為，短軸長為，焦距為，則，所以.因?yàn)?/span>，所以，又點(diǎn)在上，故，所以.設(shè)，則，化簡得.所以.

（2）設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率為，則， ，所以.因?yàn)?/span>，則，同理，當(dāng)時， 或，此時.當(dāng)時，因?yàn)?/span>在直線上，則，所以，而 ，因?yàn)?/span>，所以，又，可得，所以 .綜上，兩條直線的斜率之比為定值2.