Question

根據函數單調性的定義，證明函數f （x）=-x³+1在（-∞，+∞）上是減函數．

Answer 1

證明：證法一：在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
則f（x₂）-f（x₁）=x₁³-x₂³=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0．
當x₁x₂＜0時，有x₁²+x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂＞0；
當x₁x₂≥0時，有x₁²+x₁x₂+x₂²＞0；
∴f（x₂）-f（x₁）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）
所以，函數f（x）=-x₃+1在（-∞，+∞）上是減函數．

證法二：在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=x₁³-x₂³=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）．
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0．
∵x₁，x₂不同時為零，
∴x₁²+x₂²＞0．
又∵x₁²+x₂²＞（x₁²+x₂²）≥|x₁x₂|≥-x₁x₂
∴x₁²+x₁x₂+x₂²＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）．
所以，函數f（x）=-x³+1在（-∞，+∞）上是減函數．
分析：利用原始的定義進行證明，在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要證f（x₂）＜f（x₁）就可以可，把x₁和x₂分別代入函數f （x）=-x³+1進行證明．
點評：此題主要考查函數的單調性，解題的關鍵是利用原始定義進行證明，是一道基礎題．