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已知中心在原點O,焦點在x軸上的橢圓上的點到焦點距離的最大值為2+
2
,最小值為2-
2

(1)求橢圓的方程
(2)設過點(0,
3
)
的直線l與橢圓交于A、B兩點,若以AB為直徑的圓與y軸相切,求直線l的方程.
分析:(1)設橢圓的長半軸為a,短半軸長為b,半焦距為c,則
a+c=2+
2
a-c=2-
2
,解出即可;
(2)易判斷直線l存在斜率,設直線l的方程為y=kx+
3
,因為以AB為直徑的圓與y軸相切,所以圓心到y軸的距離即圓心橫坐標等于半徑,由弦長公式可求得|AB|,從而可得半徑,利用韋達定理及中點坐標公式可求得圓心橫坐標.
解答:解:(1)設橢圓的長半軸為a,短半軸長為b,半焦距為c,
a+c=2+
2
a-c=2-
2
,解得
a=2
c=
2
,b2=a2-c2=2,
∴橢圓C的標準方程為
x2
4
+
y2
2
=1

(2)易知直線不存在斜率時不滿足條件,設直線l的方程為y=kx+
3

y=kx+
3
x2
4
+
y2
2
=1
,得(1+2k2)x2+4
3
kx+2=0,△>0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-
4
3
1+2k2
k,x1x2=
2
1+2k2

x1+x2
2
=-
2
3
k
1+2k2
,即圓心橫坐標為-
2
3
k
1+2k2

|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
(-
4
3
k
1+2k2
)2-
8
1+2k2
=
2
1+k2
8k2-2
1+2k2

因為以AB為直徑的圓與y軸相切,所以|-
2
3
k
1+2k2
|=
1+k2
8k2-2
1+2k2
,解得k=±1,
所以直線l的方程為:y=x+
3
或y=-x+
3
點評:本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓標準方程的求解,弦長公式、韋達定理是解決該類問題的基礎,解決(2)問的關鍵是由線圓相切得到等式.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:山東省濟寧市2012屆高二下學期期末考試理科數學 題型:解答題

(本小題滿分14分) 已知在平面直角坐標系xoy中的一個橢圓,它的中心在原

點,左焦

(1)求該橢圓的標準方程;

(2)若P是橢圓上的動點,求線段PA中點M的軌跡方程;

(3)過原點O的直線交橢圓于點B、C,求△ABC面積的最大值。

 

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