Question

如圖，在棱長為1的正方體中，AP=BP=b（0<b<1），截面PQEF∥,截面PQGH∥.

(Ⅰ)證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

 (Ⅱ)證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個值；

(Ⅲ)若與平面PQEF所成的角為45°，求與平面PQGH所成角的正弦值.

Answer 1

解法一：（I）證明：在正方體中，AD′A′D,AD′⊥AB,

又由已知可得PF∥A′D，PH∥AD′,PQ∥AB,

所以   PH⊥PF,PH⊥PQ,

所以   PH⊥平面PQEF.

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直，                            

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，

所以截面PQEF和截面PQCH面積之和是

     ，是定值.                     

（III）解：連結BC′交EQ于點M.因為PH∥AD′,PQ∥AB,

所以平面ABC′D′和平面PQGH互相平行，因此D′E與平面PQGH所成角與

D′E與平面ABC′D′所成角相等.

與（I）同理可證EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC′D′，

因此EM與D′E的比值就是所求的正弦值.

設AD′交PF于點N，連結EN，由FD=知

因為AD′⊥平面PQEF，又已知D′E與平面PQEF成角，

所以D′E=即，

解得,可知E為BC中點.

所以EM=，又D′E=，

故D′E與平面PQGH所成角的正弦值為.            

解法二：

以D為原點，射線DA、DC，DD′分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標系D-xyz由已知得DF-l-b，

故A（1，0，0），A′（1，0，1），D（0，0，0），D′（0，0，1），P（1，0，b）,Q(1,1,b),E(1,-b,1,0),

F(1-b,0,0),G(b,1,1),H(b,0,1).

（I）證明：在所建立的坐標系中，可得

  

.

因為,所以是平面PQEF的法向量.

因為是平面PQGH的法向量.

因為,所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直                        

（II）證明：因為，所以，

所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形.

在所建立的坐標系中可求得

所以，

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值.                

（III）解：由已知得角,又可得

，

   即

所以,所以D′E與平面PQGH所成角的正弦值為