Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

．
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）判斷f（x）在（0，1]上的單調性并加以證明；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后利用奇偶性進行判斷．（2）利用函數(shù)單調性的定義判斷．
（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調性求函數(shù)的值域．

解答：解：（1）因為函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，
所以f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x）奇函數(shù)）  …（3分）
（2）f（x）在（0，1]上的單調遞減
設0＜x₁＜x₂≤1，
則0＜x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(

1

x1

-

1

x2

)=(x1-x2)+(

x2-x1

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

＞0
即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1]上的是單調遞減函數(shù)…（8分）
（3）由（2）同理可證f（x）在[1，+∞）上的是單調遞增函數(shù)，
又f（x）在（0，1]上的是單調遞減函數(shù)，
∴x＞0時，f（x）_min=f（1）=2．
而f（x）為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱
∴x＜0時，f（x）_max=f（-1）=-2．
所以函數(shù)f（x）的值域為（-∞，-2]∪[2，+∞）．…（12分）

點評：本題的考點是考查函數(shù)奇偶性，單調性和值域的求法，要求熟練掌握函數(shù)的性質和定義．