Question

【題目】如圖，矩形所在平面與等邊所在平面互相垂直，，分別為，的中點.

（1）求證：平面.

（2）試問：在線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，試指出點的位置，并證明你的結論：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在點，證明見解析.

【解析】

（1）連接交于點,連接,則為的中點,利用中位線的性質求證即可；

（2）由題可分析得到平面,則,若平面平面,只需證明或,由于,共面,故利用平面幾何性質證明較易,進而求證即可

（1）證明:連接交于點,連接,

由矩形知為的中點,

∵為的中點,

∴,

∵平面,平面,

∴平面

（2）存在點,當時,平面平面,證明如下:

∵四邊形是矩形,,,為中點,

∴,,即,

又∵,

∴,∴,

∴,

∴,

∵為的中點,為正三角形,

∴,

又∵平面平面,且平面平面,平面,

∴平面,

又∵平面,

∴,

又,

∴平面,

∵平面,

∴平面平面