Question

18．如圖2，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都為2，AB=4．

    (Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD；

    (Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角；

    (Ⅲ)求點P到平面QAD的距離．

Answer 1

解法一  (Ⅰ)連結(jié)AC、BD，設(shè)AC∩BD=O．

因為P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐，

所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．

    從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD．

    (Ⅱ)由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．

由(Ⅰ)，PQ⊥平面ABCD．故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是P(0，0，2)，A(2，0，0)，Q(0，0，-2)，B(0，2,0)．

    所以=(-2，0，-2)，=(0，2，-2)．

    于是cos＜,＞=.

    從而異面直線AQ與PB所成的角是arccos.

(Ⅲ)由(Ⅱ)，點D的坐標(biāo)是(0，-2，0)，=(-2，-2，0)，

=(0，0，-4)，設(shè) =(x，y，z)是平面QAD的一個法向量，由

.

取x=1，得=(1，-1，-)．

所以點P到平面QAD的距離d==2．

解法二  (Ⅰ)取AD的中點M，連結(jié)PM，QM．

因為P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐，所以AD⊥PM，  AD⊥QM．從而AD⊥平面PQM．

又PQ平面PQM，  所以PQ⊥AD．

同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD．

(Ⅱ)連結(jié)AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P、A、Q、C四點共面．

因為OA=OC，OP=OQ，所以PAQC為平行四邊形，  AQ∥PC．

從而∠BPC(或其補(bǔ)角)是異面直線AQ與PB所成的角．

因為PB=PC=,

所以cos∠BPC=.

從而異面直線AQ與PB所成的角是arccos.

(Ⅲ)連結(jié)OM，則OM=AB=2=PQ．

所以∠PMQ=90°，即PM⊥MQ．

由(Ⅰ)知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD．從而PM的長是點P到平面QAD的距離．

  在直角ΔPMO中，PM=．

  即點P到平面QAD的距離是2．