Question

已知在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC⊥BC，D為AB的中點，AC=BC=BB₁.

求證：（1）BC₁⊥AB₁；

（2）BC₁∥平面CA₁D.

Answer 1

證明略

解析:

 如圖所示，以C₁為原點，C₁A₁，C₁B₁，C₁C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.不妨設AC=2，由于AC=BC=BB₁，則A（2，0，2），B（0，2，2），C(0,0,2),A₁（2，0，0），B₁（0，2，0），C₁（0，0，0），D（1，1，2）.

（1）由于=（0，-2，-2），

=（-2，2，-2），

所以·=0-4+4=0，因此⊥，

故⊥.

（2）方法一  取A₁C的中點E，連接DE，由于E（1，0，1），

所以=（0，1，1），又=（0，-2，-2），

所以=-·，又因為ED和BC₁不共線，

所以ED∥BC₁，且DE平面CA₁D，BC₁平面CA₁D，

故BC₁∥平面CA₁D.

方法二  由于=（2，0，-2），=（1，1，0），

若設=x+y，

則得，解得，

即=-2，

所以，，是共面向量，

又因為BC₁平面CA₁D，因此BC₁∥平面CA₁D.

方法三  求出平面CA₁D的法向量n,證明向量⊥n.

設n=(a,b,1),由于=（2，0，-2），=（1，1，0）

∴,∴

∴n=（1，-1，1），又∵=（0，-2，-2），

∴n·=2-2=0，∴⊥n，

又∵平面CA₁D，∴∥平面CA₁D.