Question

已知f（x）=x³+3x²-9x+1，
（1）求f（x）的單調區間和極值．
（2）求f（x）在區間[-4，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得單調區間，由極值定義可求得極值；
（2）求出函數在區間端點處的函數值，與極值作比較，其中最大者為最大值，最小者為最小值；

解答：解：（1）f′（x）=3x²+6x-9，
由f′（x）＞0，得x＜-3或x＞1，由f′（x）＜0，得-3＜x＜1，
所以f（x）的增區間是（-∞，-3），（1，+∞），減區間是（-3，1）．
所以當x=-3時f（x）取得極大值f（-3）=28，當x=1時f（x）取得極小值f（1）=-4．
（2）f（-4）=21，f（4）=77，又由（1）知極大值f（-3）=28，極小值f（1）=-4，
所以f（x）在[-4，4]上的最大值為77，最小值為-4．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、極值與閉區間上的最值問題，準確求導，弄清導數與函數性質間的關系是解題關鍵．