Question

如圖，六棱錐的底面是邊長為1的正六邊形，底面。

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若直線PC與平面PDE所成角為，求三棱錐高的大小。

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由線線垂直得到線面垂直CD⊥平面PAC，進而求證出面面垂直； （Ⅱ）由已知條件求出S_△PCD和S_△BCD，再利用等體積法求出三棱錐B-PCD的高.

試題解析：（Ⅰ）在正六邊形ABCDEF中，CD⊥AC．

因為PA⊥底面ABCDEF，CDÌ平面ABCDEF，所以CD⊥PA．

又AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC．

因為CDÌ平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．  

（Ⅱ）直線PC與底面ABCDEF所成的角∠PCA＝45°．

在Rt△PAC中，AC＝，所以PA＝，PC＝，

即三棱錐P-BCD的高為，

 S_△PCD＝PC·CD＝，S_△BCD＝BC·CD sin120°＝，

 設三棱錐B-PCD高為h，由V_P-BCD＝V_B-PCD，得：

 S_△BCD·PA＝S_△PCD·h，

 經計算可得：h＝，

所以三棱錐B-PCD高為．

考點：1、面面垂直的求證；2、線面成角.