Question

已知1，3，6，…的各項是一個等比數(shù)列和一個等差數(shù)列對應(yīng)項相加而得到的，其中等差數(shù)列的首項為0．

（Ⅰ）分別求出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若數(shù)列1，3，6，…的前項和為，求證．

Answer 1

解：（Ⅰ）記{a_n}為等差數(shù)列，公差為d，{b_n}為等比數(shù)列，公比為q．

∵                  

∴

∴q²-2q=0    解得q=0（舍）或q=2                   

∴q=2，d=1

∴，         

（Ⅱ） ∵S_n=（a₁+b₁）+（a₂+b₂）+…+（a_n+b_n） 

        ＝（a₁+a₂+…+a_n）＋（b₁+b₂+…+b_n）

        =[0+1+…+（n-1）]+（1+2+…+2^n-1）

＝

        ＝                    

設(shè)，則

∴當(dāng)時，

∴在上是減函數(shù)

∴當(dāng)時，，即      

∴