【題目】（原創，較難）橢圓
的左右焦點分別為
，與y軸正半軸交于點B，若
為等腰直角三角形，且直
線被圓
所截得的弦長為2.
（1）求橢圓的方程；（2）直線l與橢圓交于點A、C，線段AC的中點為M，射線MO與橢圓交于點P，點O為
重心，探求面積
是否為定值，若是求出這個值，若不是求的取值范圍
【答案】(1) 
.
(2) 
面積
為定值
.
【解析】
分析：（1）由
為等腰直角三角形可得
，由直線
：
被圓
所截得的弦長為2，可得
，
，從而可得橢圓的方程；（2）設直線
的方程為
，設
，
，聯立
，利用韋達定理、結合重心坐標公式求出
點坐標，代入橢圓方程可得
，利用弦長公式、點到直線距離公式以及三角形面積公式可得的面積為
，化簡可得結果.
詳解：（1）由為等腰直角三角形可得，直線：被圓所截得的弦長為2，所以，，所以橢圓的方程為．
（2）若直線的斜率不存在，則
．
若直線的斜率存在，設直線的方程為，設，，
即則
,
,
,
由題意點
為重心，設
，則
，
，
所以
，
，代入橢圓，得
，整理得，
設坐標原點到直線的距離為
，則的面積
．
綜上可得的面積為定值．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】關于曲線C：
，給出下列五個命題：
①曲線C關于直線y=x對稱；
②曲線C關于點
對稱；
③曲線C上的點到原點距離的最小值為
；
④當
時，曲線C上所有點處的切線斜率為負數；
⑤曲線C與兩坐標軸所圍成圖形的面積是
.
上述命題中，為真命題的是_____.（將所有真命題的編號填在橫線上）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的導函數為
，且對任意的實數
都有
（
是自然對數的底數），且
，若關于的不等式
的解集中恰有兩個整數，則實數
的取值范圍是
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了了解四川省各景點在大眾中的熟知度，隨機對
歲的人群抽樣了
人，回答問題“四川省有哪幾個著名的旅游景點？”統計結果如表．
組號 | 分組 | 回答正確的人數 | 回答正確的人數 占本組的頻率 |
第 |
| | |
第 |
| | |
第 |
| | |
第 |
| | |
第 |
| | |
（1）分別求出
的值；
（2）從第
，
，
組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取
人，求第，，組每組各抽取多少人？
（3）通過直方圖求出年齡的眾數，平均數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，圓
的參數方程為
(
為參數)，圓
與圓
外切于原點
，且兩圓圓心的距離
，以坐標原點為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求圓
和圓
的極坐標方程；
（2）過點
的直線
與圓
異于點
的交點分別為點
，與圓
異于點
的交點分別為點
，且
，求四邊形
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，曲邊三角形中，線段
是直線
的一部分，曲線段
是拋物線
的一部分.矩形
的頂點分別在線段，曲線段和
軸上.設點
，記矩形的面積為
.
（Ⅰ）求函數的解析式并指明定義域；
（Ⅱ）求函數的最大值.
【答案】(Ⅰ) 定義域為
;(Ⅱ) 在
時，取得最大值
.
【解析】試題分析：( I )根據點在直線上，
在拋物線上，結合圖形，可得點
，從而可得函數的解析式，聯立直線與拋物線的方程，即可求得定義域；（II）對函數求導，利用導數研究函數的單調性，從而可求得函數的最大值.
試題解析：( I )令
，
解得
（舍）
因為點
所以
，
其定義域為
（II）因為
令
，得
，
（舍）
所以
的變化情況如下表
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
| 極大 |
|
因為是函數在
上的唯一的一個極大值，
所以在時，函數取得最大值.
點睛：利用導數解答函數最值的一般步驟：第一步：利用
或
求單調區間；第二步：解
得兩個根
；第三步：比較兩根同區間端點的大小；第四步：求極值；第五步：比較極值同端點值的大小．
【題型】解答題
【結束】
16
【題目】在各項均為正數的數列
中，
且
.
（Ⅰ）當
時，求
的值；
（Ⅱ）求證：當
時，
.
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