Question

商場銷售的某種飲品每件成本為20元，售價36元．現廠家為了提高收益，對該飲品進行促銷，具體規則如下：顧客每購買一件飲品，當即從放有編號分別為1、2、3、4、5、6的六個規格的小球的密封箱中連續有放回地摸取三次，若三次取出的小球編號相同，則獲一等獎；若三次取出小球的編號是連號（不考慮順序），則獲二等獎；其它情況無獎．
（1）求某顧客購買1件該飲品，獲得獎勵的概率；
（2）若獎勵為返還現金，顧客獲一次一等獎，獎金數是x元，若獲一次二等獎，獎金是一等獎獎金的一半，統計表明：每天的銷量y（件）與一等獎的獎金額x（元）的關系式y=

x

4

+24．問：x設定為多少最佳？并說明理由．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：概率與統計

分析：（1）記事件：“一顧客購買一件飲品獲得i等獎”為A_i，i=1，2，由等可能事件的概率計算可得P（A₁）與P（A₂），進而由一顧客一次購買一件飲品獲得獎勵的概率，由相互獨立事件的概率公式計算可得答案；
（2）設一顧客每購買一件飲品所得獎金額為X元，分析可得X的可能取值為x，

x

2

，0；計算可得P（X=x）以及P（X=

x

2

），結合題意計算即可得答案．

解答： 解：（2）記事件：“一顧客購買一件飲品獲得i等獎”為A_i，i=1，2，
則P（A₁）=

6

63

=

1

36

，P（A₂）=

4 A 2 3

63

=

4

36

=

1

9

，
則一顧客一次購買一件飲品獲得獎勵的概率為P（A₁+A₂）=P（A₁）+P（A₂）=

1

36

+

4

36

=

5

36

．…（4分）
（Ⅱ）設一顧客每購買一件飲品所得獎金額為X元，則X的可能取值為x，

x

2

，0．
由（Ⅰ）得P（X=x）=

1

36

，P（X=

x

2

）=

4

36

，E（x）=

x

36

+

2x

36

=

x

12

．…（9分）
該商場每天銷售這種飲品所得平均利潤
Y=y[（36-20）-E（x）]=（(

x

4

+24)(16-

x

2

)=-

1

48

（x-48）²+432．
當x=48時，Y最大．故x設定為48（元）為最佳．…（12分）

點評：本題考查與概率有關的應用問題，涉及等可能事件、互斥事件的概率計算以及離散型隨機變量的均值的計算，考查學生的計算能力．