Question

A、B兩位同學各有五張卡片，現以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片．規定擲硬幣的次數達9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止．設ξ表示游戲終止時擲硬幣的次數．
（1）求ξ的取值范圍；
（2）求ξ的數學期望Eξ．

Answer 1

（1）設正面出現的次數為m，反面出現的次數為n，
則

|m-n|=5 m+n=ξ 1≤ξ≤9

，
可得：當m=1，n=0或m=0，n=5時，ξ=5；
當m=6，n=1或m=1，n=6時，ξ=7；
當m=7，n=2或m=2，n=7時，ξ=9；
∴ξ的所有可能取值為：5，7，9．
（2）ξ表示游戲終止時擲硬幣的次數，由題意知ξ的所有可能取值為：5，7，9．
根據獨立重復試驗的概率公式得到
P（ξ=5）=2×(

1

2

)5=

2

32

=

1

16

；
P（ξ=7）=2

C

15

(

1

2

)7=

5

64

；
P（ξ=9）=1-

1

16

-

5

64

=

55

64

；
∴Eξ=5×

1

16

+7×

5

64

+9×

55

64

=

275

32

．