Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AC⊥BC．側面A₁ABB₁是邊長為a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A₁AB=60°，E，F分別是AB₁，BC的中點．　
（1）求證：直線EF∥平面A₁ACC₁；　
（2）在線段AB上確定一點G，使平面EFG⊥平面ABC，并給出證明；　
（3）記三棱錐A-BCE的體積為V，且，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：連接A₁C，A₁E．因為 側面A₁ABB₁是菱形，E是AB₁的中點，所以 E也是A₁B的中點，
又因為 F是BC的中點，所以 EF∥A₁C．
因為 A₁C?平面A₁ACC₁，EF?平面A₁ACC₁，所以 直線EF∥平面A₁ACC₁． …（4分）
（2）解：當時，平面EFG⊥平面ABC，證明如下：…（5分）
連接EG，FG．因為 側面A₁ABB₁是菱形，且∠A₁AB=60°，所以△A₁AB是等邊三角形．
因為 E是A₁B的中點，，所以 EG⊥AB．
因為 平面A₁ABB₁⊥平面ABC，且平面A₁ABB₁∩平面ABC=AB，所以 EG⊥平面ABC．
又因為 EG?平面EFG，所以 平面EFG⊥平面ABC． …（8分）
（3）解：因為△A₁AB是邊長為a的等邊三角形，所以 ，
所以 ．
根據 ，解得，即 ． …（12分）
分析：（1）連接A₁C，A₁E，結合菱形的性質及F是BC的中點，由三角形的中位線定理，可證得EF∥A₁C，由線面平行的判定定理即可得到直線EF∥平面A₁ACC₁；
（2）取G為線段AB上靠近B點的四等分點，連接EG，FG，由菱形的性質及E是A₁B的中點，可得EG⊥AB，又由平面A₁ABB₁⊥平面ABC，根據面面垂直的性質定理可得EG⊥平面ABC，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面EFG⊥平面ABC；
（3）由△A₁AB是邊長為a的等邊三角形，則我們可以求出EG的長，結合（2）中EG⊥平面ABC，利用等體積法，我們易將棱錐A-BCE的體積為V表示為a表達式，結合，構造關于a的不等式，解不等式即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是證得EF∥A₁C，（2）的關鍵是證得EG⊥平面ABC，（3）的關鍵是將棱錐A-BCE的體積為V表示為a表達式，結合，構造關于a的不等式．