Question

判斷下列函數的奇偶性：
（1）f(x)=(x-1)

1+x 1-x

；
（2）f(x)=

1-x2

+

x2-1

；
（3）f(x)=

lg(1-x2)

|x2-2|-2

；
（4）f(x)=

x2+x(x＜0) -x2+x(x＞0)

．

Answer 1

分析：先看函數的定義域是否關于原點對稱，再看f（-x）與f（x）的關系，再根據函數的奇偶性的定義作出判斷．

解答：解：（1）由

1+x

1-x

≥0，求得-1≤x＜1，故函數f（x）=（x-1）•

1+x 1-x

的定義域為[-1 1），不關于原點對稱，故函數為非奇非偶函數．
（2）由

1-x2≥0 x2-1≥0

，可得 x=±1，故函數的定義域為{-1，1}，關于原點對稱．再由f（-1）=0，f（1）=0，可得f（-1）=±f（1），
故函數既是奇函數又是偶函數．
（3）由

1-x2＞0 |x2-2|≠2

，可得-1＜x＜1，且x≠0，故函數的定義域為（-1，0）∪（0，1），關于原點對稱．
且f（-x）=

lg[1-(-x)2]

|(-x)2-2|

=

lg[1-x2]

|x2-2|

=f（x），故函數為偶函數．
（3）由于函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），當x＞0時，-x＜0，f（-x）=（-x）²+（-x）=x²-x=-f（x）；
當x＜0時，-x＞0，f（-x）=-（-x）²+（-x）=-（x²+x）=-f（x），故函數f（x）為奇函數．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的定義和判斷方法，屬于中檔題．