Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x），則下列命題：
①若f（x-1）=f（1-x）恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
②若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱；
③函數(shù)y=f（x-1）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
④若f（1+x）+f（x-1）=0恒成立．則函數(shù)y=f（x）以4為周期．其中真命題有

2

．

Answer 1

分析：①若f（x-1）=f（1-x）恒成立，令t=x-1，則x=t+1，代入得f（t）=f（-t），此函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，由此可判斷；
②若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，可得出自變量和為2函數(shù)值互為相反數(shù)，由此可判斷；
③函數(shù)y=f（x-1）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，此命題可由y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f（-x）的圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱，結(jié)合圖象平移的知識(shí)判斷；
④若f（1+x）+f（x-1）=0恒成立，可變形得出f（x+1）=-f（x-1）=f（x-3），由此可判斷出函數(shù)y=f（x）以4為周期

解答：解：①若f（x-1）=f（1-x）恒成立，令t=x-1，則x=t+1，代入得f（t）=f（-t），此函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱不正確；
②若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，由于x+1+1-x=2，而函數(shù)值互為相反數(shù)，故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，此命題正確；
③由于函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f（-x）的圖象關(guān)于直線Y軸對(duì)稱，而兩函數(shù)y=f（x-1）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象可分別由函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f（-x）的圖象右移一個(gè)單位得到，故兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由此知兩者圖象關(guān)于y軸對(duì)稱不正確；
④f（1+x）+f（x-1）=0恒成立，即f（x+1）=-f（x-1）=f（x-3），故函數(shù)的周期為T=4．則函數(shù)y=f（x）以4為周期正確．
綜上知②④是正確命題
故答案為2

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，此類題涉及到的知識(shí)面廣，有一定的綜合性，解答時(shí)要仔細(xì)認(rèn)真、準(zhǔn)確判斷