Question

 

1．   (本小題滿分12分)

如圖，直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的高為3，底面是邊長為4且∠DAB = 60°的菱形，ACBD = O，A₁C₁B₁D₁ = O₁，E是O₁A的中點．

(1)  求二面角O₁－BC－D的大小；

(2)  求點E到平面O₁BC的距離．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

60°，

【解析】

解法一：

(1) 過O作OF⊥BC于F，連接O₁F，

∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F，

∴∠O₁FO是二面角O₁－BC－D的平面角，········ 3分

∵OB = 2，∠OBF = 60°，∴OF =．

在Rt△O₁OF中，tan∠O₁FO =

∴∠O₁FO=60° 即二面角O₁—BC—D的大小為60°············· 6分

(2) 在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位線，∴OE∥O₁C

∴OE∥O₁BC，∵BC⊥面O₁OF，∴面O₁BC⊥面O₁OF，交線O₁F．

過O作OH⊥O₁F于H，則OH是點O到面O₁BC的距離，··········· 10分

∴OH = ∴點E到面O₁BC的距離等于················ 12分

解法二：

(1) ∵OO₁⊥平面AC，

∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，又OA⊥OB，········· 2分

建立如圖所示的空間直角坐標系（如圖）

∵底面ABCD是邊長為4，∠DAB = 60°的菱形，

∴OA = 2，OB = 2，

則A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O₁（0，0，3）··· 3分

設平面O₁BC的法向量為=（x，y，z），則⊥，⊥，

∴，則z = 2，則x=－，y = 3，

∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）········ 5分

∴ cos<，>=，

設O₁－BC－D的平面角為α， ∴cosα=∴α=60°．

故二面角O₁－BC－D為60°．······················ 6分

(2) 設點E到平面O₁BC的距離為d，

    ∵E是O₁A的中點，∴=（－，0，），············· 9分

則d=

∴點E到面O₁BC的距離等于．···················· 12分