Question

【題目】已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（2，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于．

（1）求頂點(diǎn)C的軌跡方程；

（2）若斜率為1的直線與頂點(diǎn)C的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=x±1

【解析】

試題（Ⅰ）設(shè)出C的坐標(biāo)，利用AC、BC所在直線的斜率之積等于﹣，列出方程，求出點(diǎn)C的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|MN|=，即可求直線l的方程．

解：（Ⅰ）設(shè)C的坐標(biāo)為（x，y），則

直線AC的斜率，

直線BC的斜率，

由已知有，化簡(jiǎn)得頂點(diǎn)C的軌跡方程，

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

由題意，解得5x2+8mx+4m2﹣4=0，

△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0，解得

∴，

代入解得m2=1，m=±1，

∴直線l的方程為y=x±1．