Question

一數(shù)列{a_n}的前n項的平均數(shù)為n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)，證明數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列；
（3）設(shè)，是否存在最大的數(shù)M？當(dāng)x≤M時，對于一切非零自然數(shù)n，都有f（x）≤0．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平均數(shù)的意義和當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）作差b_n+1-b_n，證明其大于0即可；
（3）利用（2）遞增，因此有最小值．解出，即可知道是否存在最大的數(shù)M．
解答：解：（1）由題意可得，∴，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當(dāng)n=1時也成立．故a_n=2n-1．
（2）作差b_n+1-b_n====，
∴b_n+1＞b_n對于任意正整數(shù)n都成立，因此數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列．
（3）∵遞增，∴有最小值，
∴，解得x²-4x+1≥0，．
所以M=．
存在最大的數(shù)M=，當(dāng)x≤M時，對于一切非零自然數(shù)n，都有f（x）≤0．
點評：熟練掌握數(shù)列的通項公式與其前n項和之間的關(guān)系、作差法比較數(shù)的大小、一元二次不等式的解法及其轉(zhuǎn)化法等是解題的關(guān)鍵．