Question

已知向量

m

=（1，cos⊙x），

n

=（sin⊙x，

3

）（⊙＞o），函數f（x）=

m

•

n

的圖象上一個最高點的坐標為（

π

12

，2），與之相鄰的一個最低點的坐標（

7π

12

，-2）．
（1）求f（x）的解析式．
（2）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所對的邊，且滿足a²+c²=b²-ac，求角B的大小以及f（A）取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用數量積求f（x），圖象上的最高點與之相鄰的最低點之間的距離為半個周期，用三角函數的周期公式求解析式．
（2）用三角形中的余弦定理求角A，進一步求得f（A）取值范圍．

解答：解：（1）依題意可知：函數y=f（x）最小正周期是T=2(

7π

12

-

π

12

)=π
又∵f(x)=sinωx+

3

cosωx=2sin(ωx+

π

3

)
ω=

2π

T

=2
∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)
（2）由a²+c²=b²-ac得a²+c²-b²=-ac
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

1

2

又0＜B＜π
∴B=

2π

3

∴0＜A＜

π

3

π

3

＜2A+

π

3

＜π
∴0＜f(A)=2sin(2A+

π

3

)≤2，
∴f（A）的取值范圍是（0，2]
答：f（x）的解析式為f(x)=2sin(2x+

π

3

)；角B的大小為

2π

3

；f（A）取值范圍是（0，2]

點評：考查向量的數量積、三角函數的周期公式、三角形的余弦定理．