Question

（2012•唐山二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，BC邊上的點D滿足BD=2DC，以BD為直徑作圓O恰與CA相切于點A，過點B作BE⊥CA于點E，BE交圓D于點F．
（I）求∠ABC的度數：
（ II）求證：BD=4EF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接OA、AD．由AC是圓O的切線，OA=OB，知OA⊥AC，∠OAB=∠OBA=∠DAC，由AD是Rt△OAC斜邊上的中線，知AD=OD=DC=OA，由△AOD是等邊三角形，能求出∠ABC的度數．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，在Rt△AEB中，∠EAB=∠ADB=60°，由EA=

1

2

AB=

1

2

×

3

2

BD=

3

4

BD，知EB=

3

2

AB=

3

2

×

3

2

BD=

3

4

BD，由切割線定理，得EA²=EF×EB，由此能夠證明BD=4EF．

解答：解：（Ⅰ）連接OA、AD．
∵AC是圓O的切線，OA=OB，
∴OA⊥AC，∠OAB=∠OBA=∠DAC，…（2分）
又AD是Rt△OAC斜邊上的中線，
∴AD=OD=DC=OA，
∴△AOD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，
故∠ABC=

1

2

∠AOD=30°．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
在Rt△AEB中，∠EAB=∠ADB=60°，
∴EA=

1

2

AB=

1

2

×

3

2

BD=

3

4

BD，
EB=

3

2

AB=

3

2

×

3

2

BD=

3

4

BD，…（7分）
由切割線定理，得EA²=EF×EB，
∴

3

16

BD²=EF×

3

4

BD，
∴BD=4EF．…（10分）

點評：本題考查弦切角、與圓有關的比例線段的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．