Question

已知y=f（x）是二次函數，方程f（x）=0有兩相等實根，且f′（x）=2x+2
（1）求f（x）的解析式．
（2）求函數y=f（x）與y=-x²-4x+1所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）用待定系數法設出解析式，據△=0，和f′（x）=2x+2確定結果．
（2）利用定積分求曲邊圖形面積，找準積分區間和被積函數．

解答：解：（1）∵y=f（x）是二次函數，且f'（x）=2x+2．∴可設f（x）=x²+2x+c．
又∵方程f（x）=0有兩個相等實根，
∴△=4-4c=0⇒c=1，
∴f（x）=x²+2x+1
（2）∵函數f（x）=x²+2x+1與函數y=-x²-4x+1的圖象交于點（0，1），（-3，4），
∴兩函數圖象所圍成的圖形的面積為S=

∫

0 -3

(-x2-4x+1-x2-2x-1)dx=

∫

0 -3

(-2x2-6x)dx=(-

2

3

x3-3x2)

.

0 -3

=9．

點評：本題考查導數的運算，利用定積分求曲邊圖形面積．在直角坐標系下平面圖形的面積的四個步驟：1．作圖象；2．求交點；3．用定積分表示所求的面積；4．微積分基本定理求積分