Question

已知a∈R，函數f（x）=（-x²+ax）e^-x（x∈R，e為自然對數的底數）．
（I）當a=-2時，求函數，f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在（-1，1）內單調遞減，求a的取值范圍；
（III）函數f（x）是否為R上的單調函數，若是，求出a的取值范圍：若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，令f′（x）＜0，可得f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，若f（x）在（-1，1）內單調遞減，即當-1＜x＜1時，f′（x）≤0，即x²-（a+2）x+a≤0對x∈（-1，1）恒成立，變換主元，可得不等式組，從而可求a的值；
（III）判斷函數不可能是整個實數域上的單調遞減函數；要成為單調遞增函數，則x²-（a+2）x+a≥0對x∈R恒成立，判斷其不可能，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）當a=-2時，f（x）=（-x²-2x）e^-x；f′（x）=（x²-2）e^-x
令f′（x）＜0，得x²-2＜0，∴-

2

＜x＜

2

∴f（x）的單調遞減區間是（-

2

，

2

）；
（Ⅱ）f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，若f（x）在（-1，1）內單調遞減，即當-1＜x＜1時，f′（x）≤0，
即x²-（a+2）x+a≤0對x∈（-1，1）恒成立；
令g（x）=x²-（a+2）x+a，則

g(-1)≤0 g(1)≤0

∴

1+(a+2)+a≤0 1-(a+2)+a≤0

，解得a≤-

3

2

；
（III）f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，其正負取決于二次式x²-（a+2）x+a，該二次式值（首項為正）不可能永為負，也就是說原函數不可能是整個實數域上的單調遞減函數；
若要成為單調遞增函數，則x²-（a+2）x+a≥0對x∈R恒成立
∵△=（a+2）²-4a=a²+4＞0
∴函數不可能在R上單調遞增
綜上可知，函數f（x）不可能為R上的單調函數．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．