Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓方程為（），拋物線方程為．過拋物線的焦點作軸的垂線，與拋物線在第一象限的交點為，拋物線在點的切線經過橢圓的右焦點． 
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設為橢圓上的動點，由向軸作垂線，垂足為，且直線上一點滿足，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

Answer 1

略

解：（1）拋物線的焦點為，過拋物線的焦點垂線于軸的直線為.
由得點的坐標為.　                   ………………2分
由得，
∴，故.                            ………………3分
∴拋物線在點的切線方程為，即.  …………4分
又由橢圓方程及知，右焦點的坐標為.     …………5分
∴，解得.                        ………………7分
∴橢圓方程為，拋物線方程為．　     ………………8分
（2）設點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為,且，.由已知知.                     ………………10分
將其代入橢圓方程得.　                     ………………11分
當，即時，點的軌跡方程為，其軌跡是以原點為圓心，半徑為的圓；　                              ………………12分
當，即時，點的軌跡方程為，其軌跡是焦點在軸上的橢圓；　                                    ………………13分
當，即時，點的軌跡方程為，其軌跡是焦點在 軸上的橢圓.　                                      ………………14分