已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為
,點(diǎn)
為短軸的一個(gè)端點(diǎn),
.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,過(guò)右焦點(diǎn),且斜率為
的直線
與橢圓
相交于
兩點(diǎn),
為橢圓的右頂點(diǎn),直線
分別交直線
于點(diǎn)
,線段
的中點(diǎn)為
,記直線
的斜率為
.
求證: 為定值.
(1);(2)詳見(jiàn)解析
解析試題分析:(1)由點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)可知
,在直角三角形
中已知
,從而可得
。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/54/c/lxutv.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)
的直線
方程為:
,與橢圓方程聯(lián)立消去
整理為關(guān)于
的一元二次方程,設(shè)點(diǎn)
即
為方程的兩根,可得根與系數(shù)的關(guān)系。由斜率公式可分別求得直線
和直線
的斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式可得兩直線方程。直線
和直線
分別與直線
聯(lián)立,求交點(diǎn)
。根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)
坐標(biāo)。根據(jù)斜率公式求
。即可證得
為定值。
解:(1)由條件可知, 2分
故所求橢圓方程為. 4分
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線
方程為:
. 5分
由可得:
6分
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi),所以直線
和橢圓都相交,即
恒成立.
設(shè)點(diǎn),則
. 8分
因?yàn)橹本的方程為:
,
直線的方程為:
, 9分
令,可得
,
,
所以點(diǎn)的坐標(biāo)
. 10分
直線的斜率為
12分
所以為定值
. 13分
考點(diǎn):1橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及方程;2直線與橢圓的位置關(guān)系;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓
的左右焦點(diǎn)分別為
,離心率為
;雙曲線
的左右焦點(diǎn)分別為
,離心率為
,已知
,且
.
(1)求的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作
的不垂直于
軸的弦
,
為
的中點(diǎn),當(dāng)直線
與
交于
兩點(diǎn)時(shí),求四邊形
面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(12分)(2011•福建)如圖,直線l:y=x+b與拋物線C:x2=4y相切于點(diǎn)A.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b的值;
(Ⅱ)求以點(diǎn)A為圓心,且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知點(diǎn)是橢圓
上任一點(diǎn),點(diǎn)
到直線
的距離為
,到點(diǎn)
的距離為
,且
.直線
與橢圓
交于不同兩點(diǎn)
、
(
,
都在
軸上方),且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)為橢圓與
軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線
方程;
(3)對(duì)于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無(wú)論
如何變化,直線
總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線的方程為,直線
的方程為
,點(diǎn)
關(guān)于直線
的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知,點(diǎn)
是拋物線的焦點(diǎn),
是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),求
的最小值及此時(shí)點(diǎn)
的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)、
是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)
是拋物線與
軸正半軸交點(diǎn),
是以
為直角頂點(diǎn)的直角三角形.試探究直線
是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若經(jīng)過(guò),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知直線:
和橢圓
,橢圓C的離心率為
,連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)形成四邊形的面積為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)直線
與y軸的交點(diǎn)為P,M為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),求線段PM長(zhǎng)度的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知?jiǎng)訄A與圓
相切,且與圓
相內(nèi)切,記圓心
的軌跡為曲線
;設(shè)
為曲線
上的一個(gè)不在
軸上的動(dòng)點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
作
的平行線交曲線
于
兩個(gè)不同的點(diǎn).
(1)求曲線的方程;
(2)試探究和
的比值能否為一個(gè)常數(shù)?若能,求出這個(gè)常數(shù),若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)記的面積為
,
的面積為
,令
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(2011•浙江)已知拋物線C1:x2=y,圓C2:x2+(y﹣4)2=1的圓心為點(diǎn)M
(1)求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離;
(2)已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線,交拋物線C1于A,B兩點(diǎn),若過(guò)M,P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在
軸上投影,M為PD上一點(diǎn),且
.
(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長(zhǎng)度.
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