Question

【題目】如圖，四棱錐中， ，側面為等邊三角形， ， .

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求與平面所成的角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由問題，可根據線面垂直判定定理的條件要求，從題目條件去尋相關的信息，先證線線垂直，即，從而問題可得解；（Ⅱ）要求直線與平面所成角，一般步驟是先根據圖形特點作出所求的線面角，接著將該所在三角形的其他要素（包括角、邊或是三角形的形狀等）算出來，再三角形的性質或是正弦定理、余弦定理來進行運算，從問題得于解決（類似問題也可以考慮采用坐標法來解決）.

試題解析：（Ⅰ）取的中點E，連接，

則四邊形為矩形，

所以，

所以，

因為側面為等邊三角形， ，

所以，且，

又因為，

所以，

所以.

又，

所以平面.

（Ⅱ）

過點作⊥于點，

因為，

所以平面.

又平面，

由平面與平面垂直的性質，

知平面，

在中，由，

得，

所以.

過點作平面于，連接，

則即為與平面所成的角，

因為平面，

所以平面，

又平面，

所以.

在中，由，

求得.

在中， ，

所以，

由，

得，

即，

解得，

所以，

故與平面所成角的正弦值為.