設工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應站C,現要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3:5,那么,D應選在何處,才能使原料供應站C運貨到工廠A所需運費最省?
車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時,運費最省.
由勾股定理建模.設BD之間的距離為
km,則|AD|=
,|CD|=
.如果公路運費為
元/km,那么鐵路運費為
元/km.故從原料供應站C途經中轉站D到工廠A所需總運費
為:
+
,(
).對該式求導,得
=
+
=
,令
,即得25
=9(
),解之得
=15,
=-15(不符合實際意義,舍去).且=15是函數在定義域內的唯一駐點,所以=15是函數的極小值點,而且也是函數的最小值點.由此可知,車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時,運費最省.
【名師指引】 這是一道實際生活中的優化問題,建立的目標函數是一個復合函數,用過去的知識求其最值往往沒有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧.而運用導數知識,求復合函數的最值就變得非常簡單.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
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科目：高中數學 來源： 題型：044
設工廠A到鐵路線的垂直距離為20km，垂足為B．鐵路線上距離B為100km處有一原料供應站C，見圖，現要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉站，再由車站D向工廠修一條公路。如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3∶5，那么D應選在何處，才能使原料供應站C運貨到工廠所需運費最省？
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科目：高中數學 來源：數學教研室 題型：044
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科目：高中數學 來源：2012年蘇教版高中數學選修2-21.4導數在實際生活的實際應用練習卷（解析版） 題型：解答題
設工廠Ａ到鐵路線的垂直距離為20km, 垂足為B． 鐵路線上距離B為100km處有一原料供應站C, 現要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉站, 再由車站D向工廠修一條公路． 如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3∶5, 那么Ｄ應選在何處, 才能使原料供應站C運貨到工廠所需運費最省?
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