Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，且當x∈[2，3]時，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（0，1]上為增函數，求a的取值范圍；
（3）是否存在正整數a，使f（x）的圖象的最高點落在直線y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題中g（x）的解析式以及題中已知條件便可求出函數f（x）的解析式；
（2）先求出函數f（x）的導數f'（x），在（0，1]區間內令f'（x）＞0即可求出a的取值范圍；
（3）存在，令f'（x）＞0，即可求出a的取值范圍，便可知0＜a≤6不符合題意，當a＞6時[f（x）]_max=f（1）=2a-4-12，即可求出滿足題意的a的值．

解答：解：（1）當x∈[-1，0]時，2-x∈[2，3]，f（x）=g（2-x）=-2ax+4x³；
當x∈（0，1]時，f（x）=f（-x）=2ax-4x³，
∴f(x)=

-2ax+4x3，-1≤x≤0 2ax-4x3，0＜x≤1.

（2）由題設知，f'（x）＞0對x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x²＞0對x∈（0，1]恒成立，
于是，a＞6x²，
從而a＞（6x²）_max=6．
（3）因為f（x）為偶函數，故只需研究函數f（x）=2ax-4x³在x∈（0，1]的最大值．
令f'（x）=2a-12x²=0，
解得x=

a 6

．
①若

a 6

∈（0，1]，即0＜a≤6，
則[f(x)]max=f(

a 6

)=2a×

a 6

-4(

a 6

)3＜2a×

a 6

≤12，
故此時不存在符合題意的a；
②若

a 6

＞1，即a＞6，
則f（x）在（0，1]上為增函數，
于是[f（x）]_max=f（1）=2a-4．
令2a-4=12，故a=8．
綜上，存在a=8滿足題設．

點評：本題通過函數的知識來切入到導數，考查了利用導數求函數的單調性以及閉區間的最值問題，考查了學生的邏輯思維能力與推理能力，函數及導數的應用是數學的難點，也是高考的熱點，屬于中檔題．