Question

下列命題：
①若

a

與

b

共線，

b

與

c

共線，則

a

與

c

共線；
②向量

a

、

b

、

c

共面，則它們所在直線也共面；
③若

a

與

b

共線，則存在唯一的實數λ，使

b

=λ

a

；
④若A、B、C三點不共線，0是平面ABC外一點．

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

，則點M一定在平面ABC上，且在△ABC內部，
上述命題中的真命題是

 

．

Answer 1

分析：本題綜合考查了平行向量與共線向量，向量的共線定理等知識點，我們要根據向量共線的定義和性質對四個命題逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：如果

b

=

0

，則

a

與

c

不一定共線，所以①錯誤；
因為向量可以任意平移，可知②錯；
③中的

a

≠

0

這一條件缺少，于是③錯．
④中A、B、C、M四點共面．等式兩邊同加

MO

，
則

1

3

(

MO

+

OA

)+

1

3

(

MO

+

OB

)+

1

3

(

MO

+

OC

)=0，
即

MA

+

MB

+

MC

=0，

MA

=-

MB

-

MC

，
則

MA

與

MB

、

MC

共面，
又M是三個有向線段的公共點，
故A、B、C、M四點共面．
故④是真命題．
故答案為：④

點評：在解答向量問題時，向量共線（平行）是最常見的情況之一，我們一定要注意向量平行分為三種情況：①兩個非零向量同向；②兩個非零向量反向；③零向量與任何一個向量都共線（平行）．其中第③種情況，最容易被忽視．