(本小題滿分12分)已知數列

的前

項和為

,

,且

(Ⅰ)寫出

與

的遞推關系式(

);
(Ⅱ)求

關于

的表達式;
(Ⅲ)設

,求數列

的前

項和

。
法1:(Ⅰ)由

及

得

即

∴

(Ⅱ)由

得

∴

是首項為1,公差為1的等差數列,
故

∴

(Ⅲ)∵

∴

∴

∴

………………①
當

時,

;
當

時,

;
當

時

………………②
由①-②得

;
∴

綜上得

。
解法二、
(Ⅰ)由

及

得


猜測

。用數學歸納法證明如下:
(1)

時,

猜測成立;
(2)假設

時,命題成立,即

,則

∴

,即

,即

時命題也成立。
綜合(1)、(2)知對于

都有

所以

,故

。
(Ⅱ)

,證明見(Ⅰ)。
(Ⅲ)同法一。
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
數列

滿足

,

.(1)求

通項公式

;(2)令

,數列

前

項和為

,求證:當

時,

;(3)證明:

.
查看答案和解析>>
科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分) 已知函數

及正整數數列

. 若

,且當

時,有

; 又

,

,且

對任意

恒成立. 數列

滿足:

.
(1) 求數列

及

的通項公式;
(2) 求數列

的前

項和

;
(3) 證明存在

,使得

對任意

均成立.
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
已知等差數列

的首項為
a,公差為
b;等比數列

的首項為
b,公比為
a,其中
a,

,且

.
(1)求
a的值;
。2)若對于任意

,總存在

,使

,求
b的值;
。3)在(2)中,記

是所有

中滿足

,

的項從小到大依次組成的數列,又記

為

的前
n項和,


的前
n項和,求證:

≥

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科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
設數列{

}的前
n項和為

,若

(
t為正常數,
n=2
,3,4…).
(1)求證:{

}為等比數列;(2)設{

}公比為

,作數列

使

,試求

,并求

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