Question

已知f（x）=x³-3x²+2，x₁，x₂是區(qū)間[-1，1]上任意兩個值，M≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，則M的最小值是（　　）

A．-2

B．0

C．2

D．4

Answer 1

分析：對任意x₁，x₂∈[-1，1]，M≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，等價于M≥f（x）_max-f（x）_min，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)f（x）的最大值、最小值．

解答：解：f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
當-1≤x＜0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，當0＜x≤1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
所以當x=0時f（x）取得極大值，也為最大值，f（0）=2，
又f（-1）=-2，f（1）=0，
所以f（x）的最小值為-2，
對[-1，1]上任意x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=4，
所以M≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，等價于M≥4，及M的最小值為4，
故選D．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)最值，考查函數(shù)恒成立問題，解決本題的關(guān)鍵是對問題進行等價轉(zhuǎn)化，變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最值解決．