Question

用向量探索幾何的性質：
（1）在△ABC中，D是線段BC的中點，證明：

AB

+

AC

=2

AD

；
（2）把此結論推廣到四面體：設四面體ABCD，點O是三角形BCD的重心，探究

AB

，

AC

，

AD

與

AO

的等量關系，并說明理由；
（3）進一步探索，確定正n棱錐P-A₁A₂A₃…A_n的底面多邊形內一點O的位置，并寫出向量：

PA1

、

PA2

、…、

PAn

與

PO

的等量關系．（不必證明）

Answer 1

分析：（1）證明：在△ABC中，D是線段BC的中點，利用在兩個三角形中：在三角形ABD和三角形ACD中利用向量加法的幾何意義結合相反向量即可獲證；
（2）把此結論推廣到四面體：設四面體ABCD，點O是三角形BCD的重心，則

AB

+

AC

+

AD

=3

AO

；取BC的中點E，連DE，利用點O是三角形BCD的重心，結合三角形的重心定理及（1）中的結論，即可證得；
（3）進一步探索，確定正n棱錐P-A₁A₂A₃…A_n的底面多邊形內一點O的位置，向量：

PA1

、

PA2

、…、

PAn

與

PO

的等量關系是：

PA1

+

PA2

+…+

PAn

=n

PO

．

解答：解：（1）證明：在△ABC中，D是線段BC的中點，
在三角形ABD中，

AD

=

AB

+

BD

，
在三角形ACD中，

AD

=

AC

+

CD

，
兩式相加得：2

AD

=

AB

+

BD

+

AC

+

CD

，
∵

BD

=-

CD

，
∴

AB

+

AC

=2

AD

（2）把此結論推廣到四面體：
設四面體ABCD，點O是三角形BCD的重心，則

AB

+

AC

+

AD

=3

AO

證明：取BC的中點E，連DE，∵點O是三角形BCD的重心，
∴

DO

=2

OE

，
在三角形ABC中，由（1）得：

AB

+

AC

=2

AE

，∴

AE

=

1

2

(

AB

+

AC

)，
∵

DO

=2

OE

，∴

AO

=

1

3

AD

+

2

3

AE

，
∴

AO

=

1

3

AD

+

2

3

× 

1

2

(

AB

+

AC

)=

1

3

(

AD

+

AB

+

AC

)
即：

AB

+

AC

+

AD

=3

AO

．
（3）進一步探索，確定正n棱錐P-A₁A₂A₃…A_n的底面多邊形內一點O的位置，向
量：

PA1

、

PA2

、…、

PAn

與

PO

的等量關系是：．（不必證明）

PA1

+

PA2

+…+

PAn

=n

PO

．

點評：本小題主要考查向量在幾何中的應用、歸納推理、向量加法的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．