Question

設數列{a_n}滿足a_n+1=a_n²-na_n+1,n=1,2,3,…,

(1)當a₁=2時，求a₂,a₃,a₄,并由此猜想出a_n的一個通項公式；

（2）當a₁≥3時，證明對所有的n≥1,有

①a_n≥n+2;

②.

Answer 1

(1)解析：由a₁=2,得a₂=a₁²-a₁+1=3.由a₂=3,得a₃=a₂²-2a₂+1=4.由a₃=4,得a₄=a₃²-3a₃+1=5.由此猜想a_n的一個通項公式:a_n=n+1(n≥1).

(2)證明：①用數學歸納法證明：①當n=1,a₁≥3=1+2，不等式成立.②假設當n=k時不等式成立，即a_k≥k+2,那么a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,也就是說，當n=k+1時，a_k+1≥(k+1)+2.根據①和②，對于所有n≥1,有a_n≥n+2.

②由a_n+1=a_n(a_n-n)+1及①,對k≥2,有a_k=a_k-1(a_k-1-k+1)+1≥a_k-1(k-1+2-k+1)+1=2a_k-1+1,…

∴a_k≥2^k-1a₁+2^k-2+…+2+1=2^k-1(a₁+1)-1.于是,k≥2.

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