Question

設函數．
（1）若是函數的一個極值點，試求出關于的關系式（用表示），并確定的單調區間；
（2）在（1）的條件下，設，函數．若存在使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

：當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；當時，函數單調遞增區間為和，單調遞減區間為

解：（1）∵＝-------1分
且是函數的一個極值點  ∴-------------------------------------------2分
即，解得 -------------3分
則＝
令，得或------------------------4分
∵是極值點，∴，即   
當即時，由得或
由得-------------------------------------5分
當即時，由得或
由得-------------------------------------6分
綜上可知：當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；當時，函數單調遞增區間為和，單調遞減區間為------------------8分
（2）由（1）知，當a>0時，在區間（0，1）上的單調遞減，在區間（1，4）上單調遞增，
∴函數在區間上的最小值為----------------------------------9分
又∵，，
∴函數在區間[0，4]上的值域是，即--------------11分
又在區間[0，4]上是增函數，
且它在區間[0，4]上的值域是--------------------------------------------12分
∵－＝＝，
∴存在使得成立只須僅須
－<1.--------14分