Question

（本小題滿(mǎn)分13分）

    對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列，如果(=1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱(chēng)數(shù)

列具有“性質(zhì)”。

    不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在與不是同一數(shù)列的，且同

時(shí)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件：①是的一個(gè)排列；②數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱(chēng)數(shù)列具有“變換性質(zhì)”。

（I）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，證明數(shù)列具有“性質(zhì)”；

（II）試判斷數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列1，2，3，…，11是否具有“變換性質(zhì)”，具有此性質(zhì)的數(shù)列請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)列，不具此性質(zhì)的說(shuō)明理由；

（III）對(duì)于有限項(xiàng)數(shù)列：1，2，3，…，，某人已經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，

數(shù)列具有“變換性質(zhì)”，試證明：當(dāng)”時(shí)，數(shù)列也具有“變換性質(zhì)”。

Answer 1

（I）證明見(jiàn)解析。

（II）數(shù)列1，2，3，4，5具有“變換P性質(zhì)”，

數(shù)列為3，2，1，5，4。

數(shù)列1，2，3，…，11不具有“變換P性質(zhì)”    

因?yàn)?1，4都只有5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)

所以數(shù)列1，2，3，…，11不具有“變換P性質(zhì)”

（III）證明見(jiàn)解析。

解析:

（I）當(dāng)時(shí)，              …………1分

    …………2分

又。             …………3分

所以是完全平方數(shù)，

數(shù)列具有“P性質(zhì)”              …………4分

（II）數(shù)列1，2，3，4，5具有“變換P性質(zhì)”，     …………5分

數(shù)列為3，2，1，5，4              …………6分

數(shù)列1，2，3，…，11不具有“變換P性質(zhì)”     …………7分

因?yàn)?1，4都只有5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)

所以數(shù)列1，2，3，…，11不具有“變換P性質(zhì)”     …………8分

（III）設(shè)

注意到

令

由于，

所以

又

所以

即            …………10分

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，數(shù)列具有“變換P性質(zhì)”

所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成

使得都是平方數(shù)            …………11分

另外，可以按相反順序排列，

即排列為

使得

     …………12分

所以1，2，可以排列成

滿(mǎn)足都是平方數(shù).

即當(dāng)時(shí)，數(shù)列A也具有“變換P性質(zhì)”…………13分