Question

【題目】已知函數 .
（1）若 ，求函數 的極值；
（2）設函數 ，求函數 的單調區間；
（3）若在區間 上不存在 ，使得 成立，求實數 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：當 時， ，列極值分布表

在（0,1）上遞減，在 上遞增，∴ 的極小值為 ；

（2）解：

①當 時， 在 上遞增；

②當 時， ，

∴ 在 上遞減，在 上遞增；

（3）解：先解區間 上存在一點 ,使得 成立

在 上有解 當 時，

由（II）知

①當 時， 在 上遞增， ∴

②當 時， 在 上遞減，在 上遞增

當 時， 在 上遞增， 無解

當 時， 在 上遞減

，∴ ；

當 時， 在 上遞減，在 上遞增

令 ，則

在 遞減， ， 無解，

即 無解；

綜上：存在一點 ,使得 成立，實數 的取值范圍為： 或 .

所以不存在一點 ，使得 成立，實數 的取值范圍為 .

【解析】（1）利用求導研究函數的極值.
（2）利用導函數研究函數的單調區間，對于有參數的函數，要對參數分類討論.
（3）對于不存在問題，用正難則反的原則，研究存在一點x0,使不等式成立時參數a的范圍，再求補集.