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對于函數f（x）=

sinx，sinx≥cosx

cosx，sinx＜cosx

，給出下列四個命題：
①該函數的值域為[-1，1]；
②當且僅當x=2kπ+

（k∈z）時，該函數取得最大值1；
③該函數是以π為最小正周期的周期函數；
④當且僅當2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

（k∈z）時，f（x）＜0．
上述命題中錯誤命題的個數為（　　）

A、1

B、2

C、3

D、4

分析：先做出正弦函數及余弦函數在[0，2π]上的圖象，然后根據已知條件截取f（x）的圖象，結合圖象判斷各個命題．

解答：

解：由圖象可知
①該函數的值域為[-

，1]
①錯誤②當且僅當x=2kπ+

或x=2kπ+2π（k∈z）時，該函數取得最大值②錯誤
③該函數是以2π為最小正周期的周期函數③錯誤
④正確
故選 C

點評：本提主要考查了正弦函數及余弦函數圖象的應用，利用定義先找出函數的圖象，結合圖象及三角函數的圖象來判斷函數的性質，體現了數形結合的思想．

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=e^xsinx．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）如果對于任意的x∈[0，

]，f（x）≥kx總成立，求實數k的取值范圍；
（3）設函數F（x）=f（x）+e^xcosx，x∈[-

2011π

，

2013π

]．過點M（

π-1

，0）作函數F（x）圖象的所有切線，令各切點的橫坐標構成數列{x_n}，求數列{x_n}的所有項之和S的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數f（x）和數列{a_n}滿足下列條件：a₁=a≠0，a₂≠a₁，當n∈N^*時，a_n+1=f（a_n），且存在非零常數k使f（a_n+1）-f（a_n）=k（a_n+1-a_n）恒成立．
（1）若數列{a_n}是等差數列，求k的值；
（2）求證：數列{a_n}為等比數列的充要條件是f（x）=kx（k≠1）．
（3）已知f（x）=kx（k＞1），a=2，且b_n=lna_n（n∈N^*），數列{b_n}的前n項是S_n，對于給定常數m，若

S(m+1)n

Smn

的值是一個與n無關的量，求k的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列命題：
①質點的位移函數S（t）對時間t的導數就是質點的加速度函數；
②對于函數f（x）=2x²+1圖象上的兩點P（1，3）和Q（1+△x，3+△y），有

△y

△x

=4+2△x；
③若質點的位移S（t）與時間t的關系為S（t）=kt+b，則質點的平均速度與任意時刻的瞬時速度相等；
④“f'（x₀）=0”是“函數y=f（x）在x=x₀時取得極值”的充要條件．
其中，真命題的序號為

②③

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），如果有限集合S滿足：①S⊆N^*；②當x∈S時，f（x）∈S，則稱集合S是函數f（x）的生成集．例如f（x）=4-x，那么集合S₁={2}，S₂={1，3}，S₃={1，2，3}都是f（x）的生成集，對于f（x）=

ax+b

x-2

（x＞2，a，b∈R，若f（x）是減函數，S是f（x）的生成集，則S不可能是（　　）

A、{3，4，5，6，8，14}

B、{3，4，6，10，18}

C、{3，5，6，7，10，16}

D、{3，4，6，7，12，22}

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

給出下列命題：
①質點的位移函數S（t）對時間t的導數就是質點的加速度函數；
②對于函數f（x）=2x²+1圖象上的兩點P（1，3）和Q（1+△x，3+△y），有

△y

△x

=4+2△x；
③若質點的位移S（t）與時間t的關系為S（t）=kt+b，則質點的平均速度與任意時刻的瞬時速度相等；
④“f'（x₀）=0”是“函數y=f（x）在x=x₀時取得極值”的充要條件．
其中，真命題的序號為______．

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