Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（Ⅰ）設E是DC的中點，求證：D₁E∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意及圖形所給的線段大小之間的關系，利用線線平行進而得到線面平行；
（2）利用圖形中兩兩垂直的線和題中所給的線段的大小，建立空間直角坐標系，利用向量的知識求出二面角的大�。�

解答：解：（I）連接BE，則四邊形DABE為正方形，
∴BE=AD=A₁D₁，且BE∥AD∥A₁D₁，
∴四邊形A₁D₁EB為平行四邊形，∴D₁E∥A₁B．
∵D₁E?平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD，
∴D₁E∥平面A₁BD．
（II）以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
不妨設DA=1，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，2，2），A₁（1，0，2）．
∴

DA1

=(1，0，2)，

DB

=(1，1，0)．
設

n

=(x，y，z)為平面A₁BD的一個法向量，
由

n

⊥

DA1

，

n

⊥

DB

得

x+2z=0 x+y=0

取z=1，則

n

=(-2，2，1)
設

m

=(x1，y1，z1)為平面C₁BD的一個法向量，
由

m

⊥

DC

，

m

⊥

DB

得

2y1+2z1=0 x1+y1=0

，
取z₁=1，則

m

=(1，-1，1)
∵.cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

-3

9 • 3

=-

3

3

．
由于該二面角A₁-BD-C₁為銳角，
所以所求的二面角A₁-BD-C₁的余弦值為

3

3

．

點評：此題重點考查了學生的空間想象能力，還考查了線面平行的判定定理及利用空間直角坐標系即向量的知識求二面角的大小．