【題目】已知橢圓
的離心率為
，且過點
.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點
且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點A,B，試問在x軸上是否存在點
，使
是與
無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)答案見解析.
【解析】
(1)由題意結(jié)合橢圓的離心率和橢圓的性質(zhì)可得
，則橢圓方程為.
(2)假設(shè)在x軸上存在點M(m,0),使
是與k無關(guān)的常數(shù)，設(shè)直線L方程為
，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，設(shè)
，結(jié)合韋達(dá)定理可得
，設(shè)常數(shù)為t=
，討論計算可得
，即在x軸上存在點M(
)，使是與k無關(guān)的常數(shù).
(1)∵橢圓離心率為
，∴
，∴
.
又∵橢圓過點(
，1)，代入橢圓方程，得
.
所以.
∴橢圓方程為
，即.
(2)在x軸上存在點M
，使是與k無關(guān)的常數(shù).
證明：假設(shè)在x軸上存在點M(m,0),使是與k無關(guān)的常數(shù)，
∵直線L過點C(-1，0)且斜率為k,∴L方程為，
由
得
.
設(shè)，則
,
∵
∴
=
=
=
=
設(shè)常數(shù)為t，則
整理得
對任意的k恒成立，
，解得，
即在x軸上存在點M()，使是與k無關(guān)的常數(shù).
科學(xué)實驗活動冊系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
，在
處的切線方程為
.
（1）求
， 
；
（2）若
，證明： 
.
【答案】（1）
， 
；（2）見解析
【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于
的方程組，解出即可；
（2）由（1）可知
， 
，
由
，可得
，令
， 利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得
，
從而證明
.
試題解析：（（1）由題意
，所以
，
又
，所以
，
若
，則
，與
矛盾，故
， 
.
（2）由（1）可知
， 
，
由
，可得
，
令
，
，
令
當(dāng)
時， 
， 
單調(diào)遞減，且
；
當(dāng)
時， 
， 
單調(diào)遞增；且
，
所以
在
上當(dāng)單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，且
，
故
，
故
.
【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
， 
為參數(shù)），以坐標(biāo)原點
為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線
的極坐標(biāo)方程為
，若直線
與曲線
相切；
（1）求曲線
的極坐標(biāo)方程；
（2）在曲線
上取兩點
， 
與原點
構(gòu)成
，且滿足
，求面積
的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:
由 列聯(lián)表算得
參照附表,得到的正確結(jié)論是( ).
A. 在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
B. 在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
C. 在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
D. 在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，P是正四面體V-ABC的面VBC上一點，點P到平面ABC距離與到點V的距離相等，則動點P的軌跡是( )
A. 直線 B. 拋物線
C. 離心率為
的橢圓 D. 離心率為3的雙曲線
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】給出下列四個命題：①命題“若
，則
”的逆否命題為假命題：
②命題“若
，則
”的否命題是“若
，則
”；
③若“
”為真命題，“
”為假命題，則
為真命題，
為假命題；
④函數(shù)
有極值的充要條件是
或
.
其中正確的個數(shù)有（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
是定義在
上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為
，且有
，則不等式
的解集為
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+ 
，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2．
（I）求a、b的值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞1時，不等式f（x）＞ 
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD= 
，AB=BC=1，CD=2，PA⊥平面ABCD，E是PD的中點． 
（1）求證：AE∥平面PBC；
（2）若直線AE與直線BC所成角等于 
，求二面角D﹣PB﹣A平面角的余弦值．
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