Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，點M在線段PD上，且AM⊥MC．
（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值；
（3）求二面角M-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AM，利用AM⊥MC，可得AM⊥平面PCD，利用面面垂直的判定，即可證明平面ABM⊥平面PCD；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面ACM的一個法向量

n

=(2，-1，1)，

CD

=(-2，0，0)，利用向量的夾角公式即可得到結論；
（3）確定平面ACD的法向量為

n1

=(0，0，1)，平面ACM的法向量為

n

=(2，-1，1)，利用向量的夾角公式即可求二面角M-AC-D的余弦值．

解答：（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AM，
∵AM⊥MC，CD∩MC=C
∴AM⊥平面PCD，
∵AM?平面ABM，∴平面ABM⊥平面PCD．
（2）解：以A為坐標原點，AB為x軸，建立空間直角坐標系，如圖．
則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
由于PA=AD，AM⊥PD，∴M是PD的中點，∴M（0，2，2）；
設平面ACM的一個法向量

n

=(x，y，z)，由

n

•

AC

=0，

n

•

AM

=0可得：

2x+4y=0 2y+2z=0

，令z=1，則

n

=(2，-1，1)．
設CD與平面ACM所成的角為α，又

CD

=(-2，0，0)，則sinα=|cos＜

CD

，

n

＞|=|

CD • n

| CD |•| n |

|=

6

3

．
所以直線CD與平面ACM所成的角的正弦值為

6

3

．
（3）解：由于PA⊥平面ACD，取平面ACD的法向量為

n1

=(0，0，1)，平面ACM的法向量為

n

=(2，-1，1)，
∴cos＜

n

，

n1

＞=

n • n1

| n |•| n1 |

=

6

6

．
∴二面角M-AC-D的余弦值為

6

6

．

點評：本題考查面面垂直，考查線面角、面面角，考查利用向量知識解決立體幾何問題，正確求平面的法向量是關鍵．