Question

已知二次函數y=g（x）的圖象經過點O（0，0）、A（m，0）與點P（m+1，m+1），設函數f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b處取到極值，其中m＞n＞0，b＜a．
（1）求g（x）的二次項系數k的值；
（2）比較a，b，m，n的大小（要求按從小到大排列）；
（3）若m+n≤2，且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線y=f（x）均相切，求y=f（x）．

Answer 1

（1）由題意可設g（x）=kx（x-m），k≠0，
又函數圖象經過點P（m+1，m+1），則m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1．…（2分）
（2）由（1）可得y=g（x）=x（x-m）=x²-mx．
所以f（x）=（x-n）g（x）=x（x-m）（x-n）=x³-（m+n）x²+mnx，
f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn，…（4分）
函數f（x）在x=a和x=b處取到極值，
故f′（a）=0，f′（b）=0，…（5分）
∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m²-2（m+n）m+mn=m²-mn=m（m-n）＞0…（7分）
f′（n）=3n²-2（m+n）n+mn=n²-mn=n（n-m）＜0
又b＜a，故b＜n＜a＜m．                                 …（8分）
（3）設切點Q（x₀，y₀），則切線的斜率k=f/(x0)=3x02-2(m+n)x0+mn
又y0=x03-(m+n)x02+mnx0，所以切線的方程是y-x03+(m+n)x02-mnx0=[3x02-2(m+n)x0+mn](x-x0)…（9分）
又切線過原點，故-x03+(m+n)x02-mnx0=-3x03+2(m+n)x02-mnx0
所以2x03-(m+n)x02=0，解得x₀=0，或x0=

m+n

2

．  …（10分）
兩條切線的斜率為k1=f/(0)=mn，k2=f/(

m+n

2

)，
由m+n≤2

2

，得（m+n）²≤8，
∴-

1

4

(m+n)2≥-2，
∴k2=f/(

m+n

2

)=

3(m+n)2

4

-2(m+n)×

m+n

2

+mn=-

1

4

(m+n)2+mn≥mn-2，
…（12分）
所以k1k2≥mn(mn-2)=(mn)2-2mn=(mn-1)2-1≥-1，
又兩條切線垂直，故k₁k₂=-1，所以上式等號成立，有m+n=2

2

，且mn=1．
所以f(x)=x3-(m+n)x2+mnx=x3-2

2

 x2+x．              …（14分）