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設過點P(-2,4),傾斜角為π的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，拋物線C的頂點在原點，以x軸為對稱軸，若|PA|、|AB|、|PB|成等比數列，求拋物線C的方程.

思路解析：關鍵是|PA|、|AB|、|PB|成等比數列條件的運用，因為P、A、B都在直線l上，所以可轉化為它們對應縱坐標之間的關系，找到關于系數的方程，求得系數即可.

解：由題意，直線l的方程為y=-x+2，設C的方程為y2=2ax（a≠0），由消去x，得y2+2ay-4a=0，設A、B縱坐標分別為y1、y2，則y1+y2=-2a，y1·y2=-4a，∵P、A、B共線且|PA|、|AB|、|PB|成等比數列，則|y1-4|、|y1-y2|、|y2-4|也成等比數列，∴|y1-4|·|y2-4|=|y1-y2|2≠0.

∴|y1y2-4(y1+y2)+16|=(y1+y2)2-4y1y2，且y1≠y2.

∴|a+4|=a2+4a，且Δ=4a2+16a＞0,

解得a=1，即C的方程為y2=2x.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點M(
2
，1)，離心率為
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于兩不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足
|
AP
|
|
PB
|
=
|
AQ
|
|
QB
|
=λ，證明：點Q的軌跡與λ無關．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點P（2，0），及⊙C：x2+y2-6x+4y+4=0．
（1）當直線l過點P且與圓心C的距離為1時，求直線l的方程；
（2）設過點P的直線與⊙C交于A、B兩點，當|AB|=4，求以線段AB為直徑的圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點P（2，0）及圓C：x2+y2-6x+4y+4=0．
（1）若圓C與圓x2+y2+2x-2y+m=0外切，求m的值；
（2）設過點P的直線l1與圓C交于M、N兩點，當|MN|=4時，求以線段MN為直徑的圓Q的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點P（2，0）及圓C：x2+y2-6x+4y+4=0．
（1）若直線l過點P且被圓C截得的弦長為4
2
，求直線l的方程；
（2）設過點P的直線l1與圓C交于M、N兩點，當P恰為MN的中點時，求以線段MN為直徑的圓Q的方程．

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同步練習冊答案
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