Question

已知雙曲線，過點P（1，1）作直線l，使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有    條．

Answer 1

【答案】分析：先確定雙曲線的右頂點，進而根據圖形可推斷出當l垂直x軸時與C相切，與x軸不垂直且與C相切，與漸近線平行且與C較與1點（兩種情況）滿足l與C有且只有一個公共點．
解答：解：根據雙曲線方程可知a=1
∴右頂點為（1，0），使l與C有且只有一個公共點的情況為：
①當l垂直x軸時，此時過P（1，1）的直線方程為x=1，與雙曲線C只要一個公共點
②當l與x軸不垂直時，可設直線方程為y-1=k（x-1）
聯立方程可得（4-k²）x²+2k（k-1）x-（k²-2k+5）=0
（i）當4-k²=0即k=±2時，方程只有一個根，此時直線與雙曲線只有一個公共點
（ii）當4-k²≠0時，△=4k²（1-k）²+4（4-k²）（k²-2k+5）=0，整理可得2k-5=0即k=
故答案為：4
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了學生數形結合和轉化和化歸的思想的運用．