Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R）．
（Ⅰ）若f（-1）=0且對任意實數x均有f（x）≥0成立，求實數a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（-1）=0，可得a-b+1=0即b=a+1，又對任意實數x均有f（x）≥0成立，可得恒成立，即（a-1）²≤0恒成立，從而可求出a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x²+2x+1，可得g（x）=x²+（2-k）x+1，由g（x）在x∈[-2，2]時是單調函數，可得，從而得出，解之即可得出k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又對任意實數x均有f（x）≥0成立
∴恒成立，即（a-1）²≤0恒成立
∴a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x²+2x+1
∴g（x）=x²+（2-k）x+1
∵g（x）在x∈[-2，2]時是單調函數，
∴
∴，
即實數k的取值范圍為（-∞，-2]∪[6，+∞）．
點評：本題考查了函數的恒成立問題及函數單調性的應用，難度一般，關鍵是掌握函數單調性的應用．