Question

若m，n是關于x的方程x²-2ax+a+6=0的兩個實根，則（m-1）²+（n-1）²的最小值是

8

．

Answer 1

分析：根據一元二次方程有兩個根，利用根的判別式求出a的取值范圍，再根據根與系數的關系求出m+n與mn的值，然后把所給的函數式整理成m+n與mn的形式，代入進行，根據二次函數的性質計算求解最值．

解答：解：依方程有兩個實根得到△=4a²-4（a+6）≥0，
即a²-a-6≥0，
∴a≤-2或a≥3，（3分）
由根與系數的關系得到m+n=2a，mn=a+6，
y=（m-1）²+（n-1）²=m²+n²-2（m+n）+2
=（m+n）²-2mn-2（m+n）+2
=4a²-6a-10，
=4（a-

3

4

）²-

49

4

，
∴根據二次函數的性質知a=3時，y的最小值為8．（12分）
故答案為：8

點評：本題考查二次函數的最值問題，一元二次方程根與系數的關系，本題解題的關鍵是利用根的判別式求出a的取值范圍，求解區間上二次函數的最值，本題是一個中檔題目．