Question

（2012•嘉定區三模）已知函數f(x)=

1

x+1

，點A_n為函數f（x）圖象上橫坐標為n（n∈N^* ）的點，O為坐標原點，向量

e

=(1 ， 0)．記θ_n為向量

OAn

與

e

的夾角，則

lim

n→∞

(tanθ1+tanθ2+…+tanθn)=

1

．

Answer 1

分析：因為

e

=(1 ， 0)，θ_n為向量

OAn

與

e

的夾角，所以θ_n為直線OA_n的傾斜角，從而tanQ_n為直線OA_n的斜率，利用裂項法求和，再求極限，即可得到結論．

解答：解：因為

e

=(1 ， 0)，θ_n為向量

OAn

與

e

的夾角
∴θ_n為直線OA_n的傾斜角，
∵tanQ_n為直線OA_n的斜率，A_n（n，

1

n+1

）
∴tanQ_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴

lim

n→∞

(tanθ1+tanθ2+…+tanθn)=

lim

n→∞

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)=1
故答案為：1

點評：本題考查向量知識的運用，考查裂項法求數列的和，考查極限的求解，考查學生的計算能力，屬于中檔題．