Question

若點(diǎn)P在函數(shù)y=e^x的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)y=lnx的圖象上，則P、Q兩點(diǎn)間的最短距離為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)y=e^x與函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，可知P、Q兩點(diǎn)間的最短距離為點(diǎn)P到直線y=x的最短距離d的2倍，利用導(dǎo)數(shù)求出d即可．

解答：解：∵函數(shù)y=e^x與函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，
∴函數(shù)y=e^x與函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴P、Q兩點(diǎn)間的最短距離是點(diǎn)P到直線y=x的最短距離的2倍，
設(shè)曲線y=e^x上斜率為1的切線為y=x+b，
∵y′=e^x，由e^x=1得x=0，
即切點(diǎn)為（0，1），
∴d=

1

2

=

2

2

，
∴P、Q兩點(diǎn)間的最短距離為2d=

2

，
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查反函數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，點(diǎn)到直線的距離公式等式知識(shí)的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．